フィボナッチ数

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フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ

初項と第2項を1とし、第3項以後次々に前2項の和をとって得られる数列。つまり、
a₁＝1, a₂＝1, a_n＋1＝a_n＋a_n-1
(n＝2, 3, 4,……)
で表され、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
という数列となる。これはフィボナッチが『算術の書』（1202）のなかで、次のような問題として提起したものである。「一つがいのウサギは、生まれて2か月後から、毎月一つがいの子供を産むとする。初めの生まれたての一つがいがいるとき、1か月後、2か月後、……のウサギのつがいの総数を求めよ」。

フィボナッチ数列の相隣る項の比をとってできる数列a₂/a₁, a₃/a₂,……つまり、
1, 2, 5/3, 8/5,……
は、無限連分数

を途中で打ち切って得られる分数の列である。この分数列は （1＋）／2 に収束する。この極限値は、黄金比（黄金分割の比）として、古来、重要視された数である。a_nは、

と表すことができる。

占い用語集 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ数列

「フィボナッチ」は１２～１３世紀に実在したイタリアの数学者のこと。数列は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657. となり、どの項も、その前の2つの項の和となる。「フィボナッチ数列」は自然界に数多く存在し、例として「花の花弁の枚数が3枚、５枚、８枚、１３枚のものが多い」・「ひまわりの種は螺旋状に２１個、３４個、５５個、８９個・・・と並ぶ。」などが挙げられる。

デジタル大辞泉 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ‐すうれつ【フィボナッチ数列】

《 Fibonacci numbers 》数学で、最初の二項が1で、第三項以降の項がすべて直前の二項の和になっている数列。すなわち、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…という数列のこと。イタリアの数学者レオナルド＝フィボナッチの名にちなむ。

世界大百科事典 内の フィボナッチ数列 の言及

【黄金分割】より

…正五角形の同じ頂点を通らない2本の対角線は互いに他を黄金分割する(図3)。1,1よりはじめて順次に前の2項の和をつくることによって得られる数列 1,1,2,3,5,8,13，……をフィボナッチ数列というが，この数列より相隣る2項の比をつくることによって得られる分数の数列 1/1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，……は黄金比に近づく。黄金比は連分数により次のように表される。…

神秘「フィボナッチ数列」とは？｜ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説

仲の良さそうなうさぎのつがい / credit:Unsplash

1202年の著作『計算の書』には、「ウサギのつがいの問題」と呼ばれている有名な問題が掲載されています。実は、この本の著者であるレオナルド・ピサノは、現在では「フィボナッチ」の名で知られている数学者です。

それでは0ヶ月後～4ヶ月後について、一つずつ具体的に考えてみましょう。

0ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギしかいません。そのため、合計1つがいです。

1ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後1ヶ月となります。まだ、子どもを産まないので、合計1つがいです。

2ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。したがって、2ヶ月後にいるウサギのつがいは、

の合計2つがいです。

3ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後3ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

の合計3つがいです。

4ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後4ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

の合計5つがいです。

表：うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:フィボナッチ数 Wikipedia「フィボナッチ数」（表のデザインはナゾロジー編）

以上を合計すると、2+3+3つがい、つまり、5ヶ月後は合計8つがいとなるのです。

表：うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」（表のデザインはナゾロジー編）

Fibonacci

フィボナッチ(Fibonacci)数 を求める．

フィボナッチ多項式 を求める．

スコープ (41)

数値評価 (4)

特定の値 (6)

記号的な n と x についての Fibonacci 多項式：

, Fibonacci2]=5" width="52" height="15" /> となるような の値を求める：

可視化 (5)

フィボナッチ数 width="55" height="15" /> の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (14)

を持つ：

n についての 次導関数の式：

級数展開 (4)

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

関数の恒等式と簡約 (2)

一般化と拡張 (フィボナッチ数 2)

アプリケーション (13)

整数をフィボナッチ数 の和として表す方法がいくつあるか計算する：

ラメ(Lam é )の定理は を計算するユークリッドのアルゴリズムのステップ数を拘束する：

が , Fibonacci]" width="17" height="15" /> を割るなら , Fibonacci]" width="15" height="15" /> は , Fibonacci]>, Fibonacci]" width="24" height="17" /> を割る：

の際立ったケースである：

, Fibonacci], m>, Mod]" width="56" height="15" /> の数列は固定した自然数 の場合 に関して周期的である：

の場合，周期は に等しい：

特性と関係 (15)

フィボナッチ数 (13)

フィボナッチ多項式 (2)

考えられる問題 (フィボナッチ数 3)

おもしろい例題 (8)

チュートリアル

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フィボナッチ数

「1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…」この数列をご存知でしょうか？

●黄金比との関係

数列は「1,1」から始まり、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. と続いていきます。

黄金比（人が美しいと感じる比率）の式は" 1 : 1.618。フィボナッチ数列を比率で表していくと

2 : 3 ＝ 1 : 1.5、3 : 5 ≒ 1 : 1.666666、5 : 8 ＝ 1 : 1.6、8 : 13 ＝ 1 : 1.625、13 : 21 ＝ 1 : 1.61538

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ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前２つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

２．フィボナッチ・フルコース

①．フィボナッチ数の整除性（オードブル）

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(4\)余る素数とする（たとえば\(11\), \(19\)など）。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう！
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか？さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②．Lameの定理（スープ）

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い（めんどくさい）とのこと！
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2＝10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

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